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関数の指導は,どこをポイントに指導するとよいでしょう。
関数の指導では,以下の指導のポイントがあります。

① 決まりを見付ける考え方

「依存する数量を見つける」,「数量の関係を見つける」,「数量の関係を使って問題を解決する」

② 決まりが見つからないときは,「変化の決まり(法則)」に着目する

対応の決まりが分からないとき「変化の決まり(法則)」に着目する,
変化の決まりを見付けやすいように,表やグラフに表す,
数量の関係を,関数の考えで積極的に見る・考える

③ 関数の考えで積極的に見ると解決できる体験やうまく問題解決する体験を重ねる






1 「関数」と「関数の考え」を学ぶ目的

(1)関数の意味の理解に象徴される1960年代

今から50年ほど前1960年代は現代化運動が盛んでした。

それは,1957年昭和32年に,ソ連の人工衛星スプートニク1号が打ち上げられたことが大きな要因でした。

これを契機に,数学・自然科学教育のカリキュラムを改造する運動が急速に広がりました。

その頃の関数の内容は,1958年昭和33年小学校学習指導要領では,「C数量関係」の領域は「割合」「式・公式」「表・グラフ」で構成され,関数は「割合」の中で取り扱いました。

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実際の関数指導では,「ドイツの首都はどこですか。」「ベルリンです。」という内容でした。

「国」の集合に「首都」の集合を対応させ,「国と首都が関数」と言うだけの知識でした。

当時の考え方は,科学の体系性を重視するあまり,子どもの経験や問題意識を軽視する傾向にありました。

数学的には,「関数」は「関係」の中に含まれ,一対一対応の「関係」を言います。

ですから,一つの要素(国名)がただ一つの要素(首都)に対応するという数学の世界の概念がそのまま指導されていた状況でした。

(2)問題解決に生かす「関数」「関数の考え」

その後,1971年昭和46年小学校学習指導要領では,「D数量関係」の領域は「関数」「式表示」「統計」で構成され,3年生から「関数」が指導されました。

内容を充実させ,関数の指導の重要性が高められました。

  • 昭和33年では,「比例の考え方を…用いる能力を伸ばす」
  • 昭和46年では,「比例関係に着目して考察すると能率よく処理できる事象が多いことを知ること」
  • 平成20年では,「比例の関係を用いて,問題を解決すること」

 

平成20年の学習指導要領に基づく教科書では,

例えば,束にした針金の長さは重さとの関数であることから,

針金の束の重さを調べて針金の長さを求めるなど,

関数の考えが問題解決に生かされるようになりました。

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このように,

関数の考えを使って合理的に問題を解決できるようにする,

学んだことが生きて働くようにする指導へと変わってきました。

これが「関数」と「関数の考え」を学ぶ意味です。

2 関数の考えのよさと指導の方向

関数は,本来は法則を知って,問題が処理できる予測できるようにするために使うものです。

関数の指導は,関数そのものの指導ではありません。

グラフをかくとか,関数そのものが分かることは大切です。

ですが,関数の考えを利用して仕事ができることを学ぶことは,もっと大切です。

現行学習指導要領では,「関数の考え」を生かす指導は以下のようになっています。

  1. ある場面での数量や図形についての事柄が,ほかのどんな事柄と関係するかに着目する
  2. 二つの事柄の変化や対応の特徴を調べていく
  3. 見いだした変化や対応の規則性を,様々な問題の解決に活用し,その思考過程や結果を表現したり,説明したりする

このように,数学的な見方・考え方を発揮しながら問題解決ができるようにすることが大切です。

3 関数の指導の具体

関数の指導の具体的な指導のポイントは,円の面積の求め方の指導を例にすると以下のようです。

(1)決まりを見付ける考え方

① 依存する数量を見つける

伴って変わる二つの数量に着目する活動です。
数学的な見方: 一方の数量は,他のどんな数量によって決まるか,依存する関係の数量に着目する。
数学的な考え方: 決まれば決まるのかどうか考える。

  1. 「円の面積」は,何によって決まるでしょうか

    求めようとする面積は,図形としての円の面積です。円が決まれば面積は決まります。その円は何によって決まるでしょうか。

  2. 「円」は,「半径」で決まります

    図形である円は,コンパスで描きます。コンパスの針と開きが円を決めます。中心は,円の位置を決めます。面積に関わるのはコンピスの開き具合です。すなわち半径です。

  3. 「半径」が決まれば,「円」が決まり,「面積」が決まります

    コンピスの開き具合を決めれば,特定の円が描けます。同時に,円の大きさがきまります。すなわち面積がきまります。

  4. したがって,「面積」は,「半径」の関数です

    コンパスの開きを変えるとそれに伴って描ける円が決まります。

    開きを大きくするのに伴って,すなわち,半径の長さを長くするのに伴って,円は一意に対応して大きくなり,円の面積がきまります。

このように,円の「面積」と「半径」など,伴って変わる二つの数量を見出すことが第一段階です。

② 数量の関係を見つける

第二段階は,伴って変わる二つの数量の関係に着目する活動です。
数学的な見方: 伴って変わる二つの数量の 変化や対応の規則性に着目する。
数学的な考え方:特徴や傾向を見いだすために,関係を,言葉,数,式,表,グラフに表すことを考える。

  1. 「円の面積」と「半径」は,どんな関係でしょうか

    「円の面積」と「半径」の関係を知りたい 「どんな関係,きまりがあるか」「変わらないものがあるか」

  2. 「半径」という一つの長さで,「面積」を求めたいです

    円を決定する唯一の数量です。この半径一つを使って面積を求めるには,一つの長さで図形・面積が決まる図形に目を向けてみましょう。

  3. 一つの長さで面積を求める正方形が使えないでしょうか

  4. 円の面積は,「半径を一辺とした正方形」と関係はないでしょうか

    一辺の長さで正方形は決まります。半径の長さが変化すれば,それに伴って円と正方形は同様に変化します。伴って変わる変わり方が,円と正方形の面積は同じように見えます。まずは,図にかいたり,方眼紙を使ったりして円の面積と正方形の面積の関係を調べてみましょう。

一辺の長さで決まる図形は何か,これまで学習した図形で使える図形はないかと考え,

児童が正方形を必然的に見い出せるようにします。

先生が「正方形と比べなさい」と指示するのではなく,このことに児童自ら気付くように授業を工夫したいところです。

そこで,円に外接する正方形や内接する正方形と比較して面積の比の見当を付けたり,方眼のマス目の数の比を求めたり,円をおうぎ形に等分して並べたりする活動をして決まりを調べる活動を設定します。

  1. 円の面積と正方形の面積の比を考えます

    「円の面積と正方形の面積の関係の見当をつけます。
    円の内側(内接)と外側(外接)に正方形を重ねてみましょう。

  2. 正方形の面積の約3倍,正確には3.14倍

    面積の意味に戻り,1cm2の面積の正方形が何個入るかを方眼紙を使って調べ,比を求めます。
    マス目が数えやすいように工夫します。半径10cmにして1/4円分の単位正方形のマス目を数えてみましょう。
    円の面積は,半径を一辺とする正方形の約3.1倍になりそうです。この比は,円周率の3.14と関係がありそうです。

  3. 円の面積は半径を一辺とした正方形の3.14倍

  4. 円の面積は,半径×半径の3.14倍

また,円をおうぎ形に等分して並べてみましょう。
円をもっと細かく等分するとどうなるでしょうか。
細かく等分していくと,おうぎ形を並べた形は長方形になると考えられます。
できた長方形の縦の長さは,半径,横の長さは「円周の半分(半径×円周率)」です。
円の面積=半径×半径×3.14
このように意識の流れがつながるようにします。児童が主体的に円の面せと半径の関係を見出せるようにすることが大切です。

③ 数量の関係を使って問題を解決する

この関係を利用して,円の面積を求めることができるようになります。

半径の長ささえ分かれば,円の面積が求められます。

半径が10cmであれば,即座に314cmと答えられます。

半径が10cmの円の面積=10×10×3.14 答え 314cm

この場合は複雑な計算を必要としません。

円という図形は,これまで取り扱った図形とは異種の図形で,求積には困難を感じる図形です。

それが,関数関係を利用することで簡単に円の面積を求積できます。

これは,児童にとっては驚きと考えられます。

児童がその驚きを体験したりよさを味わったりできるように,教師が手立てを講じる必要があります。

(2)決まりが見つからないときは,「変化の決まり(法則)」に着目する

決まりを見つけようとしても,見つからないことは多いものです。

むしろ見つからない方が多いでしょう。

そこで,次のような考えることが大切です。

① 対応の決まりが分からないとき「変化の決まり(法則)」に着目する

一方が変わればもう一方が変わる。

一方の変化に対し,他方がどう変化するかという変化の法則ならば,分かるときがあります。

② 変化の決まりを見付けやすいように,表やグラフに表す

変化の決まりは,表に表すと見付けやすくなります。

グラフに表すと,もっと分かりやすくなります。

これらの表とグラフを使って,児童が変化の決まりを見出せるようにします。

関数関係は,表やグラフに表すことによって,変化の決まりがとらえやすくなります。

表やグラフは,関係や法則を調べるためのものです。

変化の決まりが見つかったら,表やグラフの果たした役割を児童に振り返らせ,それらのよさを実感させることが大切です。

③ 数量の関係を,関数の考えで積極的に見る・考える

「Aを変えると,Bがどのように変わるかを調べてみよう」

このような見方・考え方を態度化することが,児童の生きて働く力になります。

先生に言われるからではなく,児童自ら考えはじめるよう育てることが大切です。

(3)関数の考えで積極的に見たりうまく解決したりする体験を重ねる

a+b=6

「一方が1ずつ増えたとき,もう一方を1ずつ減らせば,和は変わらない」

という決まりがあります。

この決まりを使って,下記の計算を楽にできないでしょうか。

49+17

被加数49に1を加えて,50にする。

和が1増えるので,加数17から1減らして16にする。

したがって,

49+17=(49+1)+(17-1)=50+16=66

以上述べたように,関数の考えは,それを知ること自体が目的ではありません。

関数や関数の考えを使って,うまく問題解決できるようになることが大切なのです。






1 関数の指導は,学んだことが生きて働くようにする。法則を知って問題を処理したり予測したりできるようにする。

2 関数の指導の指導ポイント

(1)決まりを見付ける考え方

① 依存する数量を見つける

② 数量の関係を見つける

③ 数量の関係を使って問題を解決する

(2)決まりが見つからないときは,「変化の決まり(法則)」に着目する

① 対応の決まりが分からないとき「変化の決まり(法則)」に着目する

② 変化の決まりを見付けやすいように,表やグラフに表す

③ 数量の関係を,関数の考えで積極的に見る・考える

(3)関数の考えで積極的に見ると解決できる体験やうまく問題解決する体験を重ねる