99999
「0.99999…」 と「1」は、等しいのでしょうか。
0.99999…=1 です。

「0.99999…」 と「1」は、表し方の違う同じ数です。

このことには、「相殺の考え」や「置き換えの考え」を使って説明できます

例えば、x=0.99999… の両辺を10倍して①、①②の辺々を差し引くことで、循環する小数部分を消すこと③ができます。

①  10x=9.99999…

② -  x=0.99999

③   9x=9

④    x=1

また、x=0.9+0.0999… を0.1xに置き換えることで、

x=0.9+0.1x と簡単な式に変えて説明できます。






1 0.99999…=1

0.33333…と等しい数の表し方といえば、分数の1/3が考えられます。

0.33333…=1/3

では次の値は、どうなるでしょうか。

0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+…

=0.99999…

この数が1を超えないことは明らかです。(1:上限)

0.99999…=1

1に等しくなるのでしょうか。

このことを説明するのに、別稿で述べた「同じ数量に着目する数学的な見方・考え方」が有効です。

以下では、そのよさを生かして説明を考えます。

まずは、「同じ数量に着目する数学的な見方・考え方」を振り返ります。

2 同じ数量に着目する数学的な見方・考え方

複雑な問題をできるだけ単純化して解決する方法として、二つの数量の同じ数量に着目する「相殺の考え」や「置き換えの考え」があります。「相殺の考え」や「置き換えの考え」は、合理的な問題解決の数学的な見方・考え方として工夫されたアイデアの一つです。

数学的な見方:「同じ数量に」着目する

数学的な考え方

  • 「相殺の考え」二つの数量の中から共通のものを差し引いて考える考え
  • 「置き換えの考え」ある数量をそれと同等の他の数量に置き換えて考える考え

3 同じ数量に着目した説明

【説明1】0.99999…=1 であることは、1/3=0.33333… を用いれば説明できます。

1/3=0.33333…

両辺を3倍して

3×(1/3)=3×0.33333…

      1=0.99999…

となります。

これを、相殺の考えや置き換えの考えを使うと、どのように説明できるでしょうか。

(1)相殺の考えを使った説明

【説明2】0.99999…=1であることを考えるとき、9が無限に続くことが理解を難しくしています。

そこで、相殺の考えを使って 999… を消すことを考えます。

0.99999…を、xとします。

   x=0.99999…  式①

両辺を10倍すると、

 10x=9.99999…  式②

式②-式① 辺々引き算をします。

式②  10x=9.99999…

式① -  x=0.99999…

     9x=9

      x=1

このように、理解を複雑にしていた無限小数部分を、同じ部分に着目して相殺することで、式を簡単にできます。

(2)置き換えの考えを使った説明

【説明3】0.99999…=1であることを考えるとき、置き換えの考えを使うとどのように説明できるでしょうか。

0.99999…をxとします。

 x=0.99999…

0.99999…を、0.9と0.0999…に分解します。

 x=0.9+0.0999…

0.0999…は、xの0.1倍(1/10倍)なので、0.1xに置き換えることができます。

 x=0.9+0.1x

移項して整理すると、

 x-0.1x=0.9

   0.9x=0.9

      x=1

このように、無限に続く小数第二位以下0.0999…を0.1xに置き換えることで、式を簡単にできます。

以上の二つの説明は厳密ではあまりません。完全には明らかにするためには、微積分等の説明が必要です。

4 循環小数を分数で表す

(1)循環小数と表記

0.99999…は、循環小数です。

循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことです。

繰り返される数字の列を循環節といい、循環節を明示する表記法がいくつかあります。

例えば、循環節の始まりと終わりを点で示す表し方があります。

0.99999…=0.

0.123123123…=0.

他にも 0.123、0.(123)の表し方があります。

本稿では、0.の表記を一部で使用します。

(2)循環小数を分数で表す

さて、1/7をで小数で表すと、1÷7で0.1428571432857…と表され、

循環小数0.4285になります。

逆に、この循環小数が、1/7であることを相殺の考えで説明できます。

式①         x=0.4285

両辺を1000000倍すると

式② 1000000×x=142857.4285

式②-式① 辺々引き算をします。

     999999x=142857

           x=142857/999999

           x=1/7

142857/999999 は、少々桁数の多い分数ですが、142857×7=999999となることから、分子分母を142857で約分できます。

1000000倍して、もとの式から辺々差し引くことで、循環節部分を相殺することができます。

このように、循環小数を分数に表すときに相殺の考えを活用することができます。

同じ部分に着目する見方は、活用できる場面が多い見方です。

いつでも使えるように、直観を働かせる記憶の引き出しにとどめておき、必要なときに活用できるようにしておくことが大切です。

5 まとめ

複雑な問題をできるだけ単純化して解決する方法として、二つの数量の同じ数量に着目して、その中から共通のものを差し引いて考える「相殺の考え」や,ある数量をそれと同等の他の数量に置き換えて考える「置き換えの考え」があります。
「相殺の考え」や「置き換えの考え」は、合理的な問題解決の数学的な見方・考え方として工夫されたアイデアの一つです。

例えば、0.=1であることを考えるとき、

x=0.の両辺を10倍して、もとの式の辺々を差し引くことで、循環する小数部分を消すことができます。

また、x=0.9+0.0のうち0.0を0.1xに置き換えることで、

x=0.9+0.1x と簡単な式に変えることで容易に説明できるようになります。

ただし、0.=1であることは、微積分や実数の厳密な説明がないと完全には明らかにはできません。

詳細は、ウィキペディア「0.999…」[ONLINE]https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999…(2017/06/06)をご参照下さい。