menseki-def
長方形の面積=たての「長さ」×横の「長さ」と考えてよいのでしょうか。
長方形の面積=たての「数」×横の「数」と考えます。

面積は、長さではありません。

図形を敷き詰めた単位正方形のいくつ分かで表した数で表します。

面積を求めるとは、対象の図形に敷き詰められる単位正方形の数を求めることです。

数学的に表現すると、面積は、図形から数への対応、図形から数への関数です。

2辺の長さa、b(無理数の場合も含めて)の長方形の面積は、a×bで求められます。

長方形の面積が辺の長さの数値に比例していることから、無理数の長さの辺をもつ長方形も、「たて×よこ」で求めてよいことになります。






1 小学校で学ぶ長方形の面積の意味

(1)長方形の面積=たての「数」×横の「数」

① 小学校での公式の学び方

小学校第4学年で、長方形と正方形の面積の意味と面積を求める公式を学びます。

長方形と正方形の面積は、たてと横の長さがそれぞれ、何cmあるかをはかり、その数をかけ合わせて求めることができます。

単位は、1cm2にします。

長方形の面積=たて×横

正方形の面積=一辺×一辺

このように学ぶのですが、

長方形の面積=たての「長さ」×横の「長さ」

と考えて、面積は「長さ」が集まったものと誤解することがあります。

② 面積の単位の決め方

面積は、広さを単位のいくつ分かで表した数です。

面積などの量の単位は、比べたい量と同種の量から選ぶ必要があります。

  • 長さなら、長さの単位。例えば、1cmの長さ
  • 体積なら、体積の単位。例えば、1cm3立方体

長さなら1単位の長さ、面積なら1単位の面積、体積なら1単位の体積です。

面積なら、同種の量の面積から単位を選びます

その単位の形は、敷き詰めが容易な正方形が便利です。

隙間なく埋め尽くせることが必要だからです。

また、単位正方形の一辺の長さは、長さの単位が利用できる1cmにすることが適当です。

正方形の一辺の長さを「1」cmにすれば、長方形や正方形の辺の長さを表す数と、単位正方形の数とを一致させられるからです。

③ 長方形の面積の公式の意味

このように考えると、面積を求めることは、対象の図形に敷き詰められる単位正方形の数を求めることと同じです。

したがって、

長方形の面積=たての「長さ」×横の「長さ」

ではなく、

長方形の面積=たての「数」×横の「数」

といえます。

結果としてこの公式は何を計算しているかというと、

長方形の中に敷き詰められる単位正方形の数を計算しています。

このことを小学校では、おおよそ次のように学びます。

(2)1cm2の正方形の数で、広さをくらべる活動

「どちらがどれだけ広いですか。」

「1cm2の正方形が、何こ分あるかでくらべましょう。」
Area comparison

【問い】「広さを数で表すしかたを考えよう。」

【問い】「しき石のかわりに、何を単位にするとよいだろう。」

長方形や正方形の面積を測定する単位は1辺が1cmの正方形が適当であることを理解できるようにします。

  • 単位とする図形の適切な形
    • 正方形の形なら、縦と横を別々に考えることなく、同じように処理できるよさがある。
    • 正方形ならば回転しても、並び方が変わらないので、操作しやすい。
    • 例えば、長方形にすれば、面積を求めるとき辺の長さに対応せず数値を求めにくい。並べ方も決める必要がある。
    • 例えば、円では、隙間ができて正確に測定できない。
  • 単位とする図形の適切な大きさ
    • 正方形の一辺の長さに「cm」の単位を用いれば、長さと一貫性がとれ使いやすい。
    • 正方形の一辺の長さを「1」cmにすれば、長方形や正方形の辺の長さの数と単位正方形の数を一致させられる
    • 例えば、単位を2cmの正方形にすれば、縦4cm横6cmの長方形は、それぞれの辺の長さを2で割った数を使う必要がある。

このようにして、

(あ)の長方形の面積=3×5=15 答え 15cm2 単位正方形が15個

(い)の長方形の面積=3×4=12 答え 12cm2 単位正方形が12個

(う)の長方形の面積=4×4=16 答え 16cm2 単位正方形が16個

となります。

(あ)の長方形 → 15

(い)の長方形 → 12

(う)の長方形 → 16

というように、面積を求めると、図形に数を対応させることになります。

2 面積の数学的な意味

(1)面積は図形から数の関数

長方形の面積の公式を考えるとき、

面積は、広さを単位のいくつ分かで表した数、

面積を求めることは、対象の図形に敷き詰められる単位正方形の数を求めることと同じ、

と説明しました。

もう少し数学的に表現すると、

面積とは、閉じた図形に数を対応させたものといえます。

つまり、面積は図形から数への対応、図形から数の関数と見ることができます。

関数とは、例えば、「アメリカ合衆国」の首都は、「ワシントン」です。など、

一つの要素「国」が、必ず一つの要素「首都」に対応する関係をいいます。

「図形はあるが、面積はない」ということはありません。

閉じた平面図形をかけば、必ず対応する「数」があるようにします。

図形の集合があって、その要素をF、負でない数を対応させる像をm(F)とします。

このm(F)が面積です。

例えば、上図では、図形の集合Fに、三角形、台形、平行四辺形があります。

この一つ一つに、

  • 求積(三 角 形)=2
  • 求積(台   形)=4
  • 求積(平行四辺形)=5

と、単位正方形の数2、4、5が対応します。

(2)面積が満たす法則

図形の集合があって、その要素をF、負でない数を対応させる像をm(F)とします。

これが次の法則に従っているとします。

(Ⅰ)2つの図形FとFに重なりがないとき、FとFをあわせたものF∪Fの面積は、それぞれの数の和であるようにする。

∩F=Φ → m(F∪F)=m(F)+m(F

(Ⅱ)FとFが合同のときは、対応する数は等しくする。

≡F → m(F)=m(F

さらに、Eを単位図形とすると、m(E)=1、線分の面積は、0です。

ある図形を単位図形Eの和に分割します。そうすると面積はそれに対応する数の和になります。

menseki-def 

(3)面積の求め方

m(F)=m(F∪Φ)=m(F)+m(Φ)=m(F)

(Ⅰ)からm(Φ)=0

これは、例えば、三角形に線分を付け加えても、線分の面積は0なので、三角形の面積は変わらない。

線分の面積は、0ですという意味です。

数学的にいうと、図形が空集合のときは、数は0が対応します。

すなわち面積は0です。

∩F≠Φ → m(F∪F)=m(F)+m(F)-m(F∩F

とFに重なりのある場合は、重なった部分の図形に対応する数である重複部分の面積をひきます。

要するに、「(2)面積が満たす法則」の意味は、

合同のときには、同じ数を対応させる

図形の和、重なりのない和ならば、それに対応する数も和とする

この2つを満足するように、図形に数を対応させたものが面積です。

記号でかくと以下のようになります。

F≡F∪F∪F∪…∪F,F∩F=Φ → m(F)=m(F)+m(F)+m(F)+…+m(F)…(ア)

⊆F → m(F)≦m(F) …(イ)

(ア)の式の具体例を考えます。

tanimensekiを単位図形Eとします。

図形Fを、単位図形Eで重なりのないように敷き詰め、Eの和に分割できたとします。

そうすると、図形Fは、E∪E∪E∪Eと合同になります。

合同な図形は対応する数が等しことから、

面積m(F)は、それに対応する数の和 m(E)+m(E)+m(E)+m(E)と等しいことになります。

ここで、m(E)=1 なので、

m(F)=1+1+1+1=4

となり、図形Fの面積m(F)は4となります。

このことは、外延量である面積が、量の保存性と加法性をもつことを示しています。

量の保存性…ものの形を変形したり、幾つかに分割したり、位置を動かしたりしても、そのものの量の大きさは変わらない。

量の加法性…測定したい2つのものを合併したときの量が、それぞれのものの量の加法によって計算できる。

3 無理数で成り立つ長方形の面積の公式

【定理1】2辺の長さa、bの長方形の面積はabである。*1

証明 a,bが自然数、分数、無理数の場合を分けて順に証明します。

① a,bが自然数のとき

a,bが自然数のときは、それぞれの辺をa等分、b等分する点を通って辺に平行な直線を引いて1辺の長さが1の正方形のab個に分割すると、(Ⅰ)によって長方形の面積は、abとなる。

② a,bが分数のとき

a,bの少なくとも一方が分数のときは、

a=q/p,b=s/r(p,q,r,a∈N)

とおいてそれぞれの辺をp倍、r倍に伸ばして辺の長さq,sの長方形をつくると、(1)によってその面積は、qsである。

もとの長方形の面積をSとすると、上で作った長方形の面積Sの長方形をpr個集めたものだから(1)によって

prS=qs

∴ S=(qs)/(pr)=(q/p)・(s/r)=ab

③ a,bが無理数のとき

a,bの少なくとも一方が無理数のときは、aは有理数の列x<x<x<…とy>y>y>…をとって

limita

とすることができる。

また、bも有理数の列をとってu<u<u<…とv>v>v>…

limitb

とすることができる。

ここで、はじめの長方形(面積をSとする)は、2辺の長さx,uの長方形を含み、2辺の長さy,vの長方形にふくまれるから(2)と(イ)によって

≦S≦y

そこで、n→ ∞ とすると、

ab≦S≦ab

となって、S=ab

4 かけ算の意味の拡張でとらえる面積の意味

(1)無理数の辺の長さの長方形は、単位正方形で埋め尽せない

murisuu長さを表す数が有理数の場合は、共通な単位分数が必ず存在します。

だから、その単位分数を考えれば、長方形の面積は、かけ算で求めることができます。

無理数の場合は、共通する単位が存在しないので、有理数のように整数に直して考えることができません。

したがって、無理数の長さの辺をもつ長方形や正方形を、正方形で埋め尽くすことはできません。

縦の長さが√3、横の長さが√2の長方形は、実際に作図できるので面積は存在するはずです。

しかし、その長方形を敷き詰める正方形をつくることができず、面積を表すことができません。

このことは、かけ算の意味の拡張をするときと同じように考えることで解決できます。

(2)かけ算の意味の拡張と同様の思考で解決できる

縦が2cmの長方形の面積について考えることにします。

その長方形の横の長さが1cmのとき面積は2×1となり2cmです。

横が2cmになると、面積は2×2、

横が3cmになると、面積は2×3、

と見ることができます。

小数のかけ算の拡張のときのいい方をすると、長方形の面積は横の長さに比例しているので、

横が1に当たる大きさは 2×1で2、

横が2に当たる大きさは、2×2で4 、

横が3に当たる大きさは、2×3で6、

と表現できます。

このことから、小数の2.3のときも、

横が2.3に当たる大きさ、面積は、2×2.3、

としてよいと考えられます。

このように考えると、辺の長さが小数や平方根のときも、縦×横 で求めてよいことがわかります。

小数をかける意味をこのようにとらえる前提には、比例関係があります。

面積は横の長さの数値に比例することを明らかにすることで、整数や小数、平方根であってもかけ算で求められます。

 

【ポイント】

〇 面積は、図形から数への対応、図形から数への関数です。

〇 F≡F∪F∪F∪…∪F,F∩F=Φ → m(F)=m(F)+m(F)+m(F)+…+m(F

sokutei

〇 2辺の長さa、bの長方形の面積はa×bです。

〇 長方形の面積が辺の長さの数値と比例関係にあることをもとに考えると、無理数の辺の長さでも「たて×よこ」として、長方形の面積が求められることを理解できます。

例えば、長方形の縦の長さを2cmに固定して横の長さを変えるとき、面積は横の長さの数に比例します。
したがって、横の長さが1cmのときは面積が2×1=2(cm)、√2cmのときも2×√2=2√2(cm)とできて、面積が√2倍になると考えられます。

*1 引用文献 栗田稔「教職数学シリーズ基礎編2幾何」共立出版1981年