児童が類推して考えて、行き詰まることがないでしょうか。よりよい類推のためには、児童はどのような視点がもてるようになるとよいのでしょうか。
数学的な考え方である「類推的な考え方」は、既習の内容との類似性に着目して新しい事柄を見いだす考え方です。
見通しをもつときに、しばしば活用されます。しかし、類推した考えはいつも正しいとは限りません。
類推する対象の意味を基にして類推した考えを吟味すると、より正しい類推に近づくようになります。
平行四辺形の面積を求める場面では、次の数学的な見方をします。
① 長方形の求積公式の意味から
長方形の求積公式と同じ構造の式になっているか。長さをはかり、そのをかけあわせて求めたか。
② 面積の測定の意味から
面積は、単位正方形が何個分あるかで表したか。
その前提として、類推もとの面積・測定・公式の意味など性質、法則または解決の方法を模造紙にまとめて視覚化するなどして意識できるようにしておきます。






1 はじめに

小学校算数科で学ぶ数学的な考え方として、重要でしばしば用いられる考え方が類推的な考え方です。

類推的な考え方(簡易な説明)
既習の内容との類似性に着目して新しい事柄を見いだす」考え方

問題を解決するため、新しい方法をつくり結果を得ようとするとき、見通しをもち筋道を立てて考えることが必要になります。

類推的な考え方は似ている」性質や法則、方法などを基にして考えるので、類推した考えは必ずしも正しいとは言えません

したがって、類推した考えが正しいのか、確かめる態度を育てることが必要です。

児童が自ら類推した考えを検討修正できるようになれば、類推的な考え方がより洗練され有効に活用できるようになります。

そこで、類推の正しさを高める数学的見方について考えます。

2 平行四辺形の面積を求める場面

【問題】平行四辺形の面積を求めましょう。

parallelogram2

上の面積を求める場合、平行四辺形を図のように長方形などに等積変形して面積を求めます。

長方形の面積=たて×よこ
長方形の面積を求める公式を使って、
5×8=40 答え40cm
したがって、平行四辺形の面積は40cmと求められます。

このとき、個人思考で「類推的な考え方」で、長方形の面積を求める公式を当てはめられると考える児童のいるときがあります。

parallelogram3平行四辺形は、長方形に似ている。
平行四辺形の面積は、長方形の面積の求める公式と同じように考えられるのではないか。
長方形の面積=たて×よこ
平行四辺形の面積=ななめ×よこ と考えて、
5.4×8=43.2
答え 43.2cm
となるけれど…

面積は小数です。「 平行四辺形の面積=ななめ×よこ」の考えは成り立つのか不安になり行き詰まってしまいました。
parallelogram4面積は、本来は下のようになります。

(赤)平行四辺形の面積:8×5.4=43.2 43.2cm

(緑)平行四辺形の面積:8×1=8 8cm

ところが、「 平行四辺形の面積=ななめ×よこ」が成り立つとすると、

(赤・緑)平行四辺形の面積:8×5.4=43.2 43.2cm

同じ式となり、赤と緑の平行四辺形の面積が等しいことになります。

緑の平行四辺形の面積が43.2cmあるように見えないことから、単位正方形のマス目を数えます。

すると、多く見積もっても13cmを上回りません。これは、計算結果に矛盾します。

したがって、類推した考えは成り立たないので、別の考えを見つけることになります。

この説明だけでは、類推的な考え方で類推するとき、どこを改善するとよいのか、児童には不明なままです。

そもそも、このような極端に形を変える見方は、児童自ら出すのは難しいと考えられます。

そこで、次のような指導が考えられます。

【振り返る】面積とその測定の意味、長方形の公式の意味を振り返る

面積の意味:広さのことを面積といい、面積は、1辺が1cmの正方形が何個分あるかで表します。
長方形の面積を求める公式:長方形の面積=たて×横長方形の面積は、たてと横の長さがそれぞれ何cmあるかをはかり、その数をかけあわせて求めることができます。単位は、cmです。

※法則または解決の方法を模造紙にまとめて視覚化するなどして意識できるようにしておきます。本単元導入時に、面積の意味などの内容を模造紙などにまとめて掲示して、随時振り替えられるようにします。時間は短くてよいですが、意味等を確認します。

【面積を考える】平行四辺形の面積の求め方を「類推的な考え方」で考える

【問題】平行四辺形の面積を求めましょう。

parallelogram5-1
問題には、斜辺5cm高さ4cmの平行四辺形を提示します。

問題の平行四辺形を、長方形に等積変形して考えた場合
8×4(4×8)=32 答え32cm……(ア)
一方、長方形の面積の公式から類推して「 平行四辺形の面積=ななめ×よこ」と考えた場合
5×8=40 答え40cm ……①

【類推の検討】面積の意味と長方形の公式の意味から類推した考えを検討する

面積の測定の意味、長方形の求積公式の意味

parallelogram5-2

 類推した考えを吟味する

長方形の求積公式の意味から

  • 長方形の求積公式:長方形の面積=たて×横 たてと横の長さがそれぞれ何cmあるかをはかり、その数をかけあわせて求める
  • 類推した考えの式:平行四辺形の面積=ななめ×横 ななめと横の長さがそれぞれ何cmあるかをはかり、その数をかけあわせて求める

このように比較すると、求積公式の意味からは、類推した考えは成り立ちそうです。

面積の測定の意味から

面積は、1辺が1cmの正方形(単位正方形)が何個分あるかで表す
面積は、青いマス目の単位正方形の数を求めること。

①5×8の式が成り立つとすると、問題の平行四辺形の面積と(イ)青の長方形(たて5cm横8cm)の面積とが等しいことになる。このことを説明できるか。

単位正方形の数を比べると
青の長方形の面積:5×8=40 答え40cm
赤の平行四辺形の面積:青のマス目の数を数えるなどして32cm
青の面積:40cm>赤の面積:32cm
等しくない。

ななめ×よこ で求めた単位は、(ウ)赤のマス目の単位平行四辺形の数である。
したがって、単位正方形の数を求めたことになっていない。

このことから、斜辺の長さの数(赤のマス目)は単位正方形の数を表さない。
底辺に垂直な高さの数(青のマス目)を使うと、単位正方形の数を求められる。

【参考】平行四辺形の面積は、三角関数を使うと底辺aと斜辺b、それらのなす角θが分かれば求められます。

平行四辺形の面積=absinθ

その場合でも結果として「底辺×高さ」を求めることになります。

3 平行四辺形の面積を求める場面の数学的な見方

【前提】類推もとの面積・測定・公式の意味など既習事項を意識できるようにする

類推は既習内容の類似性に着目するのであるから、児童が関連する既習の意味や性質、法則、解決の方法の要点をつかんで学習問題を考えられるようにします。
面積・測定・公式の意味など、前時、単元、系統、領域レベルで関連する必要な内容を模造紙にまとめ視覚化するなどして随時活用できるようにします。

【結論】類推もとの面積・測定・公式の意味を基にして類推した考えを吟味する

平行四辺形の求積の場面で、「①公式」を使って「②面積を求める」ときは、次の①と②の観点から吟味します。
① 長方形の求積公式の意味から
長方形の求積公式と構造が同じになっているか。それぞれの長さを測定しそのをかけあわせて求めたか。
② 面積の測定の意味から
面積は、単位正方形が何個分あるかで表したか。

具体的には、
① 公式「長方形の面積=たて×横」と構造が同じになっているか。また、たてと横の長さがそれぞれ何cmあるかをはかり、長さの数をかけあわせて求めたか。
② 面積は、1辺が1cmの正方形単位正方形の数を求めたことになっているか。

以上を数学的な見方として吟味すれば、類推による考えがより洗練されるようになります。




参考文献 片桐重男 数学的な考え方とその指導第1巻「数学的な考え方の具現化と指導」明治図書2004年
文部科学省小学校学習指導要領解説算数(1)第1章~第2章(平成20年6月)[ONLINE]http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_1.pdf(参照2017/05/16)
文部科学省小学校学習指導要領解説算数(2)第3章~第4章(平成20年6月)[ONLINE]http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf(参照2017/05/16)
啓林館 わくわく算数5平成27年度版