pythagoras-number2g
三平方の定理に出てくる3:4:5などの辺の比は、どのようにつくるのでしょうか。
まず、次の式を見てください。

1+3+5=3

1+3+5+7=4

1+3+5+7+9=5

なんとも不思議です。
奇数の和が、平方数になっています。
この3つの式を組み合わせると、

+4=5

正の整数a,b,cがa+b=cの関係を満足していれば、a,b,cの組をピタゴラス数と呼びます。
ピタゴラス数は、奇数の和である平方数をもとに構成できます。
例えば、よく知られる(3,4,5)は、次のように導かれます。

1+3+5+7=4………①

1+3+5+7+9=5…②

①を②に代入すると、

+9=5

+3=5

この方法で一般的な求め方は、自然数nを用いて、
a=2n+1、b=2n+2n、c=2n+2n+1
となります。
より一般的な方法は、異なる自然数m,nを用いて次のように表されます。
a=m-n,b=2mn,c=m+n






1 奇数の和は平方数

(1)ピタゴラス数とは

有名なピタゴラスの定理は、次のように述べることができます。

直角三角形において、直角をはさむ二辺の上にかいた正方形の面積の和は、その斜辺の上にかいた正方形の面積に等しい。すなわち、直角三角形の直角をはさむ二辺の長さをそれぞれa、b、斜辺の長さをcとすれば、

+b=c

が成り立つ。

sanheihou4

ピタゴラスの定理は、その逆も成り立ちます。

三角形の三つの辺の長さをa,b,cとするとき、もしその間に、

+b=c

という関係が成り立つならば、この三角形は、cという長さの辺に対する角が直角である直角三角形である。

このことから、ピタゴラスの定理が成り立つ数の組を、ピタゴラス数と呼んでいます。

正の整数a,b,cがa+b=cの関係を満足していれば、a,b,cの組はピタゴラス数です。

例えば、

2+=5

(3,4,5)は、比較的よく知られたピタゴラス数です。

日常的に、直角を作ったり確かめたりするときに使われます。

(2)奇数の和と平方数の関係

ところで、自然数で、1,3,5,7,9,…,2n-1は、奇数です。

その奇数を、1から順に加えていくと、次のようになります。

1=1

1+3=4=2

1+3+5=9=3

1+3+5+7=16=4

1+3+5+7+9=25=5

1+3+5+7+9+11=36=6

……

不思議なことに、奇数の和は、平方数になります。

平方数とは、自然数の二乗で表される整数です。

ピタゴラスは、この平方数のことを四角数と呼びました。

kisuu

図のように、

n個×n個の正方形を作ります。

その正方形の上に、辺の数と同じn個を加え、

正方形の右に、辺の数と同じn個を加え、

正方形の右上に、1個を加えます。

合わせて、2n+1、すなわち奇数個を加えたことなります。

そうすると、できた正方形は、(n+1)個×(n+1)個の正方形です。

はじめのn個×n個の正方形から、(n+1)個×(n+1)個の正方形に変わり、(n+1)の平方数になります。

このように、連続する奇数を加えることで、平方数を続けてつくることができます。

奇数を、1から順に加えた結果は、いつでも平方数になります。

1+3+5+7+…(2n-1)=n

2 平方数から構成するピタゴラス数

ピタゴラスは、奇数の和である平方数をもとに、ピタゴラス数を見出しました。

例えば、以下のようです。

1~7と1~9の奇数の和を考えます。

1+3+5+7=4………①

1+3+5+7+9=5…②

①を②に代入すると、

=5

=5

これにより、ピタゴラス数(3,4,5)が得られます。


1~23と1~25の奇数の和を考えます。

1+3+5+…+23=12………①

1+3+5+…+23+25=13…②

①を②に代入すると、

1225=13

12=13

これにより、ピタゴラス数(5,12,13)が得られます。


1~47と1~49の奇数の和を考えます。

1+3+5+…+47=24………①

1+3+5+…+47+49=25…②

①を②に代入すると、

2449=25

24=25

これにより、ピタゴラス数(7,24,25)が得られます。

この方法を続ければ、いくらでもピタゴラス数をつくり出すことできます。

例えば、(40,9,41)、(60,11,61)、(84,13,85)などです。

40=41

6011=61

8413=85

11215=113

14417=145






3 ピタゴラス数の分析と求め方

(1)ピタゴラス数の作り方を図で考える

上記のピタゴラス数の作り方を図にして考えると、赤文字部分が平方数になるとき、ピタゴラス数になります。

heihou

一辺がn個であるn個×n個の正方形を作ります。

その正方形の上に、辺の数と同じn個を加え、

正方形の右に、辺の数と同じn個を加え、

正方形の右上に、1個を加えます。

合わせて、2n+1個を加えます。

そうすると、できた正方形は、(n+1)個×(n+1)個の正方形です。

このとき、

はじめのn個×n個の正方形は、n個、最後にできた正方形は、(n+1)個×(n+1)個の正方形、すなわち(n+1)個の正方形です。

このことを式に表すと、

+(2n+1)=(n+1)

となります。

この(2n+1)が平方数のとき、ピタゴラス数になります。

例えば、奇数は、1,3,5,7,9,11,…

と続きます。

そのうち最初の奇数の平方数は、9=3です。

次の平方数としては、16=4がありますが、これは偶数です。

ですから、さらに次の奇数の平方数を探します。

…,19,21,23,25,27,…

となり、平方数25=5が登場します。

この平方数からピタゴラス数を作ると、

1+3+5+…+23=12………①

1+3+5+…+23+25=13…②

①を②に代入すると、

1225=13

12=13

これにより、ピタゴラス数(5,12,13)が得られます。

(2)ピタゴラス数を式で考える

① ピタゴラス数の図化

上記で得られたピタゴラス数で、直角三角形を作図するとどのようになるでしょうか。

pythagoras-number

直角を挟む2辺のうち 一方の辺の比は、

3,5,7,9,11,13,15,…

という奇数で、一次的な単調増加です。

他方の辺の比は、

4,12,24,40,60,84,112,…

と、数は二次的に変化し単調増加です。

② ピタゴラス数のグラフ化

下記のピタゴラス数である3辺の比の変化を、グラフ化すると次のようになります。

番号( a,  b,  c ) a+b=c

1 (     4   5)
2 (    12  13)
3 (    24  25)
4 (    40  41)
5 ( 11  60  61)
6 ( 13  84  85)
7 ( 15 112 113)
8 ( 17 144 145)

pythagoras-number2g

③ ピタゴラス数の式化

直角三角形の直角をはさむ2辺のうちの1辺の変化の式は、

y=2x+1

の一次関数です。これは、奇数を表します。

直角をはさむもう1辺の変化の式は、

y=2x+2x

の定数項のない二次関数です。

斜辺の変化の式は、

y=2x+2x+1

の二次関数です。

「2 平方数からできるピタゴラス数」で述べた方法によれば、一般的に次の式でピタゴラス数が求められます。

自然数:n a:2n+1、b:2n+2n、c:2n+2n+1

なお、

+b=(2n+1)+(2n+2n)

=4n+8n+8n+4n+1

=(2n+2n+1)

=c

となり、上記の式は、三平方の定理が成り立ちます。

これらの式のnに自然数を代入すると、ピタゴラス数が得られます。

④ ピタゴラス数の一般的な求め方

さらに一般的には、ピタゴラス数は、次のように表されることが知られています。

最大公約数が1のピタゴラス数は、異なる自然数m,nを用いて次のように表される。

x=m-n,y=2mn,z=m+n

4 まとめ

ピタゴラス数は、奇数の和である平方数をもとに構成することができます。

例えば、よく知られる(3,4,5)は、次のように導かれます。

1+3+5+7=4………①

1+3+5+7+9=5…②

①を②に代入すると、

+9=5

+3=5

この方法で一般的な求め方は、

自然数:n a=2n+1、b=2n+2n、c=2n+2n+1

となります。

より一般的な方法は、異なる自然数m,nを用いて次のように表されます。

a=m-n,b=2mn,c=m+n


引用、参考文献 矢野健太郎「すばらしき数学者たち」新潮文庫昭和55年(本稿1,2)※平方数は、本書では、三角数と合わせて四角数と紹介されています。本稿では、三角数に触れていないことから、平方数を使用しています。