本セクションでは、複数の文字を含む多項式の計算の仕組みについて学習します。
第1学年では、 \(3x\) や \(x + 5\) のように、1種類の文字のみを用いた一次式の計算を学び、数量を数式で簡潔に表現する基本的な手法を習得しました。第2学年では、この文字式の範囲をさらに拡張します。
例えば「縦が \(a\text{ cm}\)、横が \(b\text{ cm}\) の長方形の面積」を表す \(ab\) のように、2つ以上の文字を掛け合わせた項や、複数の文字が混在する複雑な式を扱います。
文字の数や次数が増加しても、計算を支える本質的な規則は第1学年で習得した内容と変わりません。「文字の部分が全く同じである項（同類項）をまとめる」という規則や、分配法則を正しく適用することにより、一見複雑に見える式も簡潔な形に整理することができます。
このセクションで文字式の基本的な加減乗除を正しく行えるようになることは、今後学習するすべての代数学、ひいては方程式や関数を理解するための強固な土台となります。まずは式の構成要素である「項」や「次数」の意味を正確に理解し、確実な計算力を身につけていきましょう。
§1. 文字式の計算
1年生では、 \(3x\) や \(x + 5\) のような、1つの文字を含んだ式の計算を学びました。
2年生では、文字が2つ以上になったり、文字のかけ算が含まれたりする、より広い「文字式」の世界をのぞいてみましょう。
1. 単項式と多項式
まずは、文字式の「組み立てられ方」に注目して、式を分類することから始めます。
🧐 考えてみよう
縦の長さが \(a\text{ cm}\)、横の長さが \(b\text{ cm}\) の長方形と、一辺の長さが \(c\text{ cm}\) の正方形があります。
(1) 長方形の面積を式で表してみましょう。
(2) 正方形の面積を式で表してみましょう。
(3) この2つの図形の面積の合計を式で表してみましょう。
💡 まとめ：式の名前とルール
長方形の面積は \[ab\] 正方形の面積は \[c^2\] と表せます。
このように、数や文字についてのかけ算だけで作られている式を単項式（たんこうしき）といいます。
また、単数（数だけ、文字だけ）のものも単項式に含めます。
一方、2つの面積を足した \[ab + c^2\] のように、単項式のたし算の形で表された式を多項式（たこうしき）といいます。
多項式を形作っている1つひとつの単項式を、その多項式の項（こう）と呼びます。
単項式の例: \(ab\) , \(c^2\) , \(-3x\) , \(5\)
多項式の例: \(ab + c^2\) , \(2x^2 – 5x + 3\)（項は \(2x^2\) と \(-5x\) と \(3\)）
また、単項式でかけ合わされている文字の個数を、その単項式の次数（じすう）といいます。
多項式の場合は、それぞれの項の次数の中で「もっとも高いもの」を、その多項式の次数と決めます。
\(5x\rightarrow\) 文字は \(x\) の1個だから、1次式
\(ab\rightarrow\) 文字は \(a, b\) の2個だから、2次式
\(ab + c^2\rightarrow ab\)（2次）と \(c^2\)（2次）なので、式全体で2次式
2. 多項式の加法と減法（同類項の整理）
式が長くなっても、1年生のときに学んだ「計算のルール」を応用すれば、きれいにまとめることができます。
🧐 考えてみよう
次の2つの多項式をたす計算と、ひく計算を考えてみましょう。
式A： \(2a + 3b\)
式B： \(a – b\)
どうすれば計算できるでしょうか？
1年生で習った \[\begin{align}2x + 3x &= (2+3)x\\\\ &= 5x\end{align}\] という分配法則のきまりが使えないか考えてみましょう。
💡 計算のすすめ方
多項式の中で、文字の部分がまったく同じである項どうしのことを同類項（どうるいこう）といいます。
同類項は、分配法則を使って1つの項にまとめることができます。
【たし算（加法）】
カッコをつけて2つの式、式Aと式Bをたします。
カッコをはずし、同類項を近くに並べ替えてまとめます。
\[\begin{align}(2a + 3b) + (a – b) &= 2a + 3b + a – b\\
\\
&= 2a + a + 3b – b\\
\\
&= (2 + 1)a + (3 – 1)b\\
\\
&= 3a + 2b\end{align}\]
【ひき算（減法）】
カッコをつけて2つの式、式Aから式Bをひきます。
ひく式のカッコをはずすときは、カッコの中のすべての項の符号が変わることに注意しましょう。
\[\begin{align}(2a + 3b) – (a – b) &= 2a + 3b – a + b\\
\\
&= 2a – a + 3b + b\\
\\
&= a + 4b\end{align}\]
⚠️ 注意！ > \(3a + 2b\) は、これ以上文字の部分が同じではない（同類項ではない）ので、これ以上計算をまとめてはいけません。（ \(5ab\) などにしません。）
3. 単項式の乗法と除法
最後に、単項式どうしのかけ算（乗法）とわり算（除法）をマスターしましょう。
🧐 考えてみよう
(1) 縦の長さが \(2a\) 、横の長さが \(3b\) の長方形があります。この長方形の面積を式で表すとどうなるでしょうか。
(2) 面積が \(6a^2\) で、縦の長さが \(2a\) の長方形があります。横の長さはどのように表せるでしょうか。
💡 計算のすすめ方
単項式どうしのかけ算やわり算は、文字式のルール（ \(\times\) や \(\div\) の省略）を一度ばらばらにして、「数字は数字どうし」「文字は文字どうし」で計算します。
【かけ算（乗法）】
\[2a \times 3b\] は、記号を復活させると \[2 \times a \times 3 \times b\] です。
数字の \(2 \times 3\) と、文字の \(a \times b\) をそれぞれ計算します。
\[\begin{align}2a \times 3b &= 2 \times 3 \times a \times b \\\\&= 6ab\end{align}\]
【わり算（除法）】
わり算は、1年生のときと同じように分数の形に直して計算すると、約分ができてミスが減ります。
\[6a^2 \div 2a = \dfrac{6a^2}{2a}\]
分母と分子をそれぞればらばらにして、同じもので約分します。
\[\begin{align}&= \dfrac{6 \times a \times a}{2 \times a}\\ \\&= 3a\end{align}\]
🛠 練習問題にチャレンジ！
次の計算をしなさい。
1. \(3x + 5y + 2x – y\)
2. \((5a – 2b) – (3a – 4b)\)
3. \(4x \times (-2y)\)
4. \(8x^2y \div 2x\)
(まずは自分でノートに解いてみよう！)
これで、文字式を自由自在に計算する「武器」が手に入りました。次のセクションでは、この武器を使って、いよいよ章の扉にあった「カレンダーの秘密」を解き明かします！
解答は、以下のリンクの末尾にあります。
