「直角三角形の辺の長さの比」を表す三角比について、簡単な場合、30°,45°,60° の三角比を紹介します。
また、\(a=c\sin\alpha\) といった三角比を使った辺の長さの表し方、\(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\) といった三角比の相互の関係、余角の公式についても紹介します。
1. 三角比の定義
三角比は、次のような辺の長さの比の値である。
\[\begin{align}sin α &=\dfrac{対辺}{斜辺}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}\\
cos α &=\dfrac{底辺}{斜辺}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}\\
tan α &=\dfrac{対辺}{底辺}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}\end{align}\]
三角比の延長上に、三角関数がある。
三角比は「直角三角形の辺の長さの比」を表す。
三角関数は、それを「すべての実数（あらゆる角度）に拡張して、変数に対する関数として扱えるようにしたもの」である。
ここでは、三角比について考えることとする。
| \(sin \alpha\) | \(cos \alpha\) | \(tan \alpha\) | |
|---|---|---|---|
| 対象とする辺の長さ | 対辺 \(a\) | 底辺 \(b\) | 対辺 \(a\) |
| 基にする（1とする）辺の長さ | 斜辺 \(c\) | 斜辺 \(c\) | 底辺 \(b\) |
| 三角比の計算 | 対辺 \(a\) ÷ 斜辺 \(c\) | 底辺 \(b\) ÷ 斜辺 \(c\) | 対辺 \(a\) ÷ 底辺 \(b\) |
2. 三角定規の角の大きさについての三角比
1) \(α=30°\) のときの三角比
| 表示法 | \(sin \alpha\) | \(cos \alpha\) | \(tan \alpha\) |
|---|---|---|---|
| 分数 | \[\dfrac{1}{2}\] | \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] | \[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\] |
| 小数 | \[0.5\] | \[\approx 0.87\] | \[\approx 0.58\] |
2) \(α=45°\) のときの三角比
| 表示法 | \(sin \alpha\) | \(cos \alpha\) | \(tan \alpha\) |
|---|---|---|---|
| 分数 | \[\dfrac{1}{\sqrt{2}}\] | \[\dfrac{1}{\sqrt{2}}\] | \[\dfrac{1}{1}=1\] |
| 小数 | \[\approx 0.71\] | \[\approx 0.71\] | \[1\] |
3) \(α=60°\) のときの三角比
| 表示法 | \(sin \alpha\) | \(cos \alpha\) | \(tan \alpha\) |
|---|---|---|---|
| 分数 | \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] | \[\dfrac{1}{2}\] | \[\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\] |
| 小数 | \[\approx 0.87\] | \[0.5\] | \[\approx 1.73\] |
3. 三角比を使った、辺の長さの表し方
対辺\(BC\) の長さ \(a\) を \(\sin\) を使って表す
\[\begin{align}a&=c\times\dfrac{a}{c}\\
&=c\times\sin\alpha\\
&=c\sin\alpha\end{align}\]
底辺\(AC\) の長さ \(b\) を \(\cos\) を使って表す
\[\begin{align}b&=c\times\dfrac{b}{c}\\
&=c\times\cos\alpha\\
&=c\cos\alpha\end{align}\]
対辺\(BC\) の長さ \(a\) を \(\tan\) を使って表す
\[\begin{align}a&=b\times\dfrac{a}{b}\\
&=b\times\tan\alpha\\
&=b\tan\alpha\end{align}\]
4. 三角比の相互関係
1) 三角比の関係
三角比には、次のような関係が成り立つ。
\[\tan\alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]\[\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\]\[1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\]
直角三角形の斜辺の長さを 1 とするとき、対辺の長さは \(\sin \alpha\)、底辺の長さは \(\cos \alpha\) と表せる。
これらを使うと、\(\tan\alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) と表せる。
また、直角三角形は、三平方の定理が適用できることから、\(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\)
さらに、この2つの式を使って、\(\sin^2 \alpha\) を消去する。
\[\begin{align}\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha&=1\\
\sin^2 \alpha&=1-\cos^2 \alpha\text{ ･････････①}\end{align}\]
\[\begin{align}\tan\alpha&=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\
\tan^2\alpha&=\dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\text{ ･････････②}\end{align}\]①を②に代入すると
\[\begin{align}\tan^2\alpha&=\dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\\
\tan^2\alpha&=\dfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\\
\tan^2\alpha&=\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}-1\\
1+\tan^2\alpha&=\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\end{align}\]
2) 余角の公式
直角三角形において、\(\alpha+\beta=90°\) となる。このように、2つの角の和が 90° のとき、この2つの角は互いに余角をなすという。
\[\sin(90-\alpha)=\cos\alpha\]\[\cos(90-\alpha)=\sin\alpha\]\[\tan(90-\alpha)=\dfrac{1}{\tan\alpha}\]
これらを、余角の公式といい、\(\sin\) を \(cos\) に、\(cos\) を \(\sin\) に変えることができる。
