1. 定義

放物線の定義

1つの定点（焦点）と、その点を通らない1つの定直線（準線）のそれぞれからの距離が等しい点の軌跡

2. 方程式 \(x^2 = 4py\)

放物線の定義から、放物線を表す方程式は、 \[x^2 = 4py\] と表せます。
以下それを導く証明をします。

方程式 \(x^2 = 4py\) を導くために、焦点と準線を以下のように設定します。
・　焦点 \(F\) の座標：\((0, p)\)
・　準線 \(L\) の方程式：\(y = -p\)
・　放物線上の任意の点 \(P\) の座標：\((x, y)\)

また、点 \(P(x, y)\) から準線 \(L\) に下ろした垂線の足を \(H\) とします。準線は \(y = -p\) という水平な直線なので、点 \(H\) の座標は \((x, -p)\) と表せます。

3. 証明

放物線の定義より、点 \(P\) から焦点 \(F\) までの距離 \(PF\) と、点 \(P\) から準線 \(L\) までの距離 \(PH\) は等しくなります。

\[PF=PH\]

両辺を2乗しても等号は成り立ちます。

\[PF^{2}=PH^{2}\text{　････････①}\]

ここで、2点間の距離の公式を用いて \(PF^{2}\) と \(PH^{2}\) をそれぞれ座標で表します。

\[\begin{align}PF^2 &= (x – 0)^2 + (y – p)^2\\
&= x^2 + (y – p)^2\\
PH^2 &= (x – x)^2 + (y – (-p))^2 \\
&= (y + p)^2\end{align}\]

これらを①の等式に代入します。

\[x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2}\]

それぞれの2乗の項を展開します。

\[x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}=y^{2}+2py+p^{2}\]

両辺にある共通の項（\(y^{2}\) と \(p^{2}\)）を消去します。

\[x^{2}-2py=2py\]

左辺の \(-2py\) を右辺に移項して整理します。

\[x^{2}=4py\]

これにより、放物線の定義から標準形の方程式 \(x^2 = 4py\) が導かれました。 

4. 焦点が \(x\) 軸上にある場合

焦点が \(x\) 軸上にある場合は、 \[y^2 = 4px\]と表せます。

焦点は \((p, 0)\)、準線は \(x = -p\) となります。

5. まとめ

放物線の定義は、「1つの定点（焦点）と、その点を通らない1つの定直線（準線）のそれぞれからの距離が等しい点の軌跡」です。

この定義から、放物線を表す方程式は、 \[x^2 = 4py\] と表せます。