【数Ⅲ】放物線の定義から、方程式 \(x^2 = 4py\) を導く

1. 定義

放物線の定義

1つの定点（焦点）と、その点を通らない1つの定直線（準線）のそれぞれからの距離が等しい点の軌跡

2. 方程式 \(x^2 = 4py\)

放物線の定義から、放物線を表す方程式は、 \[x^2 = 4py\] と表せる。
以下それを導く証明をする。

方程式 \(x^2 = 4py\) を導くために、焦点と準線を以下のように設定する。
・　焦点 \(F\) の座標：\((0, p)\)
・　準線 \(L\) の方程式：\(y = -p\)
・　放物線上の任意の点 \(P\) の座標：\((x, y)\)

また、点 \(P(x, y)\) から準線 \(L\) に下ろした垂線の足を \(H\) とする。準線は \(y = -p\) という水平な直線なので、点 \(H\) の座標は \((x, -p)\) と表せる。

3. 証明

放物線の定義より、点 \(P\) から焦点 \(F\) までの距離 \(PF\) と、点 \(P\) から準線 \(L\) までの距離 \(PH\) は等しくなる。

\[PF=PH\]

両辺を2乗しても等号は成り立ちます。

\[PF^{2}=PH^{2}\text{　　････････①}\]

ここで、2点間の距離の公式を用いて \(PF^{2}\) と \(PH^{2}\) をそれぞれ座標で表す。

\[\begin{align}PF^2 &= (x – 0)^2 + (y – p)^2\\
&= x^2 + (y – p)^2\text{　････････②}\\
PH^2 &= (x – x)^2 + (y – (-p))^2 \\
&= (y + p)^2\text{　　　････････③}\end{align}\]

②③を①に代入すると、

\[x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2}\]

両辺それぞれ展開して、整理すると、

\[\begin{align}x^{2}+(y-p)^{2}&=(y+p)^{2}\\
x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}&=y^{2}+2py+p^{2}\\
x^{2}-2py&=2py\\
x^{2}&=4py\end{align}\]

これにより、放物線の定義から標準形の方程式 \(x^2 = 4py\) が導かれた。 

なお、 \(x^2 = 4py\) の特徴を整理すると、次のようである。

4. 焦点が \(x\) 軸上にある場合

焦点が \(x\) 軸上にある場合は、 \[y^2 = 4px\]と表せる

5. 例題

問題

定点 \((-1,0)\) と定直線 \(x=1\) から等距離にある点 \(P\) の軌跡を求めなさい。

任意の２点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) についての間の距離は、\[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

点 \(P\) の座標を \((x,y)\) とおき、定点 \((-1,0)\) を \(F\) とする。
点 \(P\) から、定直線 \(x=1\) に下ろした、垂線の足を \(H\) とすると、\[\begin{align}PF&=\sqrt{(x+1)^2+y^2}\\
PH&=\left|x-1\right|\end{align}\]条件より、\(PF=PH\) だから、\[\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\left|x-1\right|\]両辺２乗すると、\[(x+1)^2+y^2=(x-1)^2\]よって、求める軌跡は、\[\text{放物線 : }y^2=-4x\]

5. まとめ

放物線の定義は、「1つの定点（焦点）と、その点を通らない1つの定直線（準線）のそれぞれからの距離が等しい点の軌跡」である。

定義から、放物線を表す方程式は、 \[x^2 = 4py\] と表せる。

焦点が \(x\) 軸上にある場合は、 \[y^2 = 4px\]と表せる。