弧度法と単位円における座標の表示として一般角の三角関数について解説します。
弧度（ラジアン）は、点\(O\) を中心、半径 \(1\) の円周上の2点 \(A,B\) に対する中心角 \(\angle{AOB}\) の大きさの単位、弧 \(AB\) の長さ \(θ\) で表します。例えば、\(\pi\text{ラジアン} = 180°\) となります。
また、原点 \(O\) を中心、半径 \(1\) の円を単位円において、角 \(θ\) の動径と単位円との交点を \(P\) とすると、単位円上の点 \(P\) の座標は\[P(\cosθ,\sinθ)\]で表せます。\(\tanθ\) については、動径 \(OP\) の傾きとして現れます。
以下、これらについて解説します。
1. 弧度法
1) 定義
扇型 \(OAB\) において、中心角 \(θ\) は円弧 \(\overset{\frown}{AB}\) の長さ \(l\) に比例する。
円弧 \(\overset{\frown}{AB}\) の長さ \(l\) と扇型 \(OAB\) の半径 \(r\) の比をとると，同じ角度 \(θ\) に対して扇型の大きさにかかわらずこの比は一定である。
この性質を利用して角度の大きさを定めたのが弧度法で \(θ=\dfrac{l}{r}\) とする。
一般に、円周の長さ＝直径 × \(\pi\)。すなわち、\(2\pi r\) である。この半径を \(r=1\) とすると、円周の長さは、\(2\pi\) となり、半径に依存せず表記できる。 したがって、単位円を前提にすると、\[θ=\dfrac{l}{r}=\dfrac{l}{1}=l\]とできる。
弧度（ラジアン）
点\(O\) を中心、半径 \(1\) の円周上の2点 \(A,B\) に対する中心角 \(\angle{AOB}\) の大きさの単位、弧 \(AB\) の長さ \(θ\) で表す。
\[\begin{align}\pi\text{ラジアン} &= 180°\\
1\text{ラジアン}&=\dfrac{180°}{\pi}\\
1°&=\dfrac{\pi}{180}\end{align}\]
- \(O\) を原点、\(OA\) を \(x\) 軸上の正方向の始線、\(OB\) を動径とするとき、反時計回りを正の角、時計回りを負の角という。
- 単位ラジアンは、略すことが多い。
- この弧度法に対して，45°，60°と表現する方法を度数法という。
2) 大きさの例
\[45°=\dfrac{\pi}{4},60°=\dfrac{\pi}{3},90°=\dfrac{\pi}{2},180°=\pi,360°=2\pi,720°=4\pi,-540°=-3\pi\]
2. 一般角の三角関数
1) 定義
下図の単位円において、\(x\) 軸の正の部分を始線とする角 \(θ\) の動径 \(OP\) に対し、次のように定義する。
\[\begin{align}\sinθ&=\dfrac{y}{r}\\
\cosθ&=\dfrac{x}{r}\\
\tanθ&=\dfrac{y}{x}\text{ ･････}(x\neq0)\end{align}\]
\(\sinθ,\cosθ,\tanθ\) は \(θ\) の関数である。
これらを三角関数という。
- \(\sinθ,\cosθ\) は、すべての一般角 \(θ\) で定義される。
- \(\tanθ\) は、動径 \(OP\) が、\(y\) 軸と一致するときには、定義されない。
- 三角関数は、三角比を拡張したものである。
2) 単位円上の座標
原点 \(O\) を中心、半径 \(1\) の円を単位円という。
角 \(θ\) の動径と単位円との交点を \(P\) とすると、単位円上の点 \(P\) の座標は\[P(\cosθ,\sinθ)\]
三角関数の取り得る値
\[\begin{align}-1\leqq&\sin θ\leqq1\\
-1\leqq&\cos θ\leqq1\\
&\tan θ\text{ 実数全体}\end{align}\]三角比の相互の関係\[\tanθ=\dfrac{\sin θ}{\cos θ}\]\[\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\]\[1+\tan^2θ=\dfrac{1}{\cos^2 θ}\]
\(\tanθ\) の見え方
\(\tanθ\) については、\[\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}\]であることから、動径 \(OP\) の傾きとして現れる。
また、\(\tanθ\) の長さは、直線 \(x=1,x=-1\)と動径 \(OP\) との交点を \(P’\) とすると、交点 \(P’\) から \(x\) 軸へ下ろした垂線の足を \(H\) とすると、線分 \(PH\) の長さとして現れる。
このことから、動径 \(OP\) が \(y\) 軸と一致するとき、動径 \(OP\) は直線 \(x=1,x=-1\)と平行になるので、交点を \(P’\) は存在しない。
したがって、このとき、\(\tanθ\) は定義されない。