２次関数のグラフ \(y=a(x-p)^2+q\) 標準形のグラフ
２次関数とは、２次式で表される関数のことです。
\(y=ax^2\) のグラフ
軸は、\(y\) 軸 （\(x-0\)）
頂点は原点 \((0,0)\)
\(a>0\) 下に凸
\(a<0\) 上に凸
\(y=a(x-p)^2\) のグラフ \(y=ax^2\) のグラフを \(x\) 軸の方向へ平行移動
軸は直線 \(x=p\)
頂点は点 \((p,0)\)
\(p>0\) \(x\) 軸正の方向へ平行移動
\(p<0\) \(x\) 軸負の方向へ平行移動
\(y=ax^2+q\) のグラフ \(y=ax^2\) のグラフを \(y\) 軸の方向へ平行移動
軸は、\(y\) 軸 （\(x-0\)）
頂点は点 \((0,q)\)
\(q>0\) \(y\) 軸正の方向へ平行移動
\(q<0\) \(y\) 軸負の方向へ平行移動
\(y=a(x-p)^2+q\) 標準形のグラフ
\(y=a(x-p)^2+q\) のグラフは、
\(y=ax^2\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(p\) 、
\(y\) 軸方向に \(q\)
だけ平行移動したものである。
軸は直線 \(x=p\)
頂点は点 \((p,q)\)
２次関数のグラフ \(y=ax^2+bx+c\) 一般形のグラフ
\(y=ax^2+bx+c\) の右辺を \(y=a(x-p)^2+q\) の形に変形することを平方完成という。
この形に変形できれば、\(y=ax^2+bx+c\) のグラフは、\(y=ax^2\) のグラフを平行移動すればよい。
\[\begin{align}y&=ax^2+bx+c\\
&=a \left( x^2 + \dfrac{b}{a} x \right) + c \\
&=a \left\{ \left( x^2 + \dfrac{b}{a} x +\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right) – \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 \right\}+c\\
&=a \left\{ \left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2} \right\}+c\\
&=a \left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c\\
&=a \left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\
\end{align}\]
\(y=ax^2+bx+c\) のグラフ
軸は直線 \(x=-\dfrac{b}{2a}\) 、頂点は点 \(\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)\)