連立方程式の文章問題！解き方のコツと言葉の式

「連立方程式の計算はできるけれど、文章問題になると急に式が立てられなくなる。」
そんな悩みをもっていませんか。
連立方程式の文章問題を解く最大のコツは、いきなり \(x\) や \(y\) を使った式を作るより、まずは、「言葉の式」に表して、数量の関係を整理することです。

この記事では、中学2年生の定期テストや高校入試によく出る基本の買い物問題から、みんなが苦手にする「速さ・時間・道のり」「割引・百分率」まで、8問の練習問題を用意しました。

すべて解き終える頃には、文章問題に自信がもてるようになります。ノートと鉛筆を用意して、さっそく挑戦してみましょう。 

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二元一次の連立方程式となる文章問題

第1問：買い物の問題（リンゴとミカン）

問題

ある果物店で、リンゴ3個とミカン5個を買うと代金の合計は800円でした。また、同じリンゴ5個とミカン2個を買うと代金の合計は890円でした。
リンゴ1個とミカン1個の値段を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （リンゴ3個の代金）＋（ミカン5個の代金）＝ 800（円）
• （リンゴ5個の代金）＋（ミカン2個の代金）＝ 890（円）

立式

リンゴ1個の値段を \(x\) 円、ミカン1個の値段を \(y\) 円とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&3x &+ &5y &= &800\text{　････････ 1)}\\
&5x &+ &2y &= &890\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

\(y\) を消去するため、1) の式を2倍、2) の式を 5 倍して \(y\) の係数をそろえます。

\[\begin{align}6x + 10y &= 1600\text{　････････ 1)×2}\\
25x + 10y &= 4450\text{　････････ 2)×5}\end{align}\]

下の式から上の式を引くと、

\[\begin{align}19x &= 2850\\
x &= 150\end{align}\]

\(x = 150\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}3\times(150) + 5y &= 800\\
450 + 5y &= 800\\
5y &= 800-450\\
5y &= 350\\
y &= 70\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (150, 70)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

リンゴ \(150\) 円、ミカン \(70\) 円

第2問：速さと時間の問題（家から駅まで）

問題

Aさんは家から 1600m 離れた駅に向かいました。最初は毎分 60m の速さで歩いていましたが、遅刻しそうになったので、途中から毎分 100m の速さで走ったところ、全体で 22 分かかりました。
歩いた時間と走った時間を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （歩いた時間）＋（走った時間）＝ 22（分）
• （歩いた道のり）＋（走った道のり）＝ 1600（m）

立式

歩いた時間を \(x\) 分、走った時間を \(y\) 分とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&x &+ &y &= &22&\text{　････････ 1)}\\
&60x &+ &100y &= &1600&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

1) の式を 60 倍して、

\[\begin{align}60\times x +60\times y &= 60\times 22\text{　････････ 1)×60}\\
60x + 60y &= 1320\text{　　 ････････ 1)’}\end{align}\]

2) の式から引きます。

\[\begin{align}(60x + 100y) – (60x + 60y) &= 1600 – 1320\\
60x – 60x + 100y – 60y &= 280\\
40y &= 280\\
y &= 7\end{align}\]

\(y = 7\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x + 7 &= 22\\
x&=22-7\\
x &= 15\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (15, 7)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

歩いた時間 \(15\) 分、走った時間 \(7\) 分

第3問：個数と代金の問題（ペンとノート）

問題

文房具店で、1点120円のボールペンと1点180円のノートを合わせて10点買いました。代金の合計が1500円のとき、ボールペンとノートの買った点数を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （ボールペンの点数）＋（ノートの点数）＝ 10（点）
• （ボールペンの代金）＋（ノートの代金）＝ 1500（円）

立式

ボールペンの点数を \(x\) 点、ノートの点数を \(y\) 点とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&x &+ &y &= &10&\text{　････････ 1)}\\
&120x &+ &180y &= &1500&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

1) の式を 120 倍して、

\[\begin{align}120\times x + 120\times y &= 120\times 100\\
120x + 120y &= 1200\text{　････････ 1)×120}\end{align}\]

2) の式から引きます。

\[\begin{align}(120x + 180y)- (120x + 120y) &= 1500 – 1200\\
120x – 120x + 180y – 120y &= 300\\
60y &= 300\\
y &= 5\end{align}\]

\(y = 5\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x + 5 &= 10\\
x &= 10 – 5\\
x &= 5\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (5, 5)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

ボールペン \(5\) 点、ノート \(5\) 点

第4問：人数と合計点の問題（テストの平均点）

問題

あるクラスの男子20人と女子15人で小テストを行いました。クラス全体の合計点は250点でした。また、男子の平均点は女子の平均点よりも2点高かったそうです。
男子の平均点と女子の平均点を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （男子の合計点）＋（女子の合計点）＝ 250（点）
• （男子の平均点）－（女子の平均点）＝ 2（点）

立式

男子の平均点を \(x\) 点、女子の平均点を \(y\) 点とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&20x &+ &15y &= &250&\text{　････････ 1)}\\
&x &- &y &= &2&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

2) の式から \[x = y + 2\text{　････････ 2)’}\] とし、これを 1) の式に代入します。

\[\begin{align}20(y + 2) + 15y &= 250\\
20y + 40 + 15y &= 250\\
35y &= 250-40\\
35y &= 210\\
y &= 6\end{align}\]

\(y = 6\) を \( 2)’\) に代入します。

\[\begin{align}x &= 6 + 2\\
&= 8\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (8, 6)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

男子の平均点 \(8\) 点、女子の平均点 \(6\) 点

第5問：年齢の問題（親子の年齢）

問題

現在、父親の年齢は子どもの年齢の3倍です。また、12年後には、父親の年齢が子どもの年齢の2倍になります。
現在の父親と子どもの年齢を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （現在の父親の年齢）＝（現在の子どもの年齢）\(\times 3\)
• （12年後の父親の年齢）＝（12年後の子どもの年齢）\(\times 2\)

立式

現在の父親の年齢を \(x\) 歳、子どもの年齢を \(y\) 歳とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&&&x &= &3y&\text{　････････ 1)}\\
&x &+ &12 &= &2(y + 12)&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

1) の式を 2) の式に代入します。

\[\begin{align}3y + 12 &= 2y + 24\\
3y – 2y &= 24 – 12\\
y &= 12\end{align}\]

\(y = 12\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x &= 3 \times 12\\
&= 36\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (36, 12)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

父親 \(36\) 歳、子ども \(12\) 歳

第6問：定価と割引の買い物

問題

ある店で、ウィンドブレーカー1着とハーフパンツ1着をどちらも定価で購入すると、代金の合計は5500円でした。

ある日、セールでウィンドブレーカーが定価の 25%引き、ハーフパンツが定価の 20%引きで売り出されていたため、合わせて購入したところ、代金の合計は4200円になりました。

ウィンドブレーカー1着とハーフパンツ1着の定価は、それぞれいくらですか。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （ウィンドブレーカーの定価）＋（ハーフパンツの定価）＝ 5500（円）
• （ウィンドブレーカーの割引後の代金）＋（ハーフパンツの割引後の代金）＝ 4200（円）
  
  25%引き → 75% → \(\dfrac{75}{100}\)　、　20%引き → 80% → \(\dfrac{80}{100}\)

立式

ウィンドブレーカー1着の定価を \(x\) 円、ハーフパンツ1着の定価を \(y\) 円とします。

ウィンドブレーカーの割引後の代金：25%引き 　 　\(\dfrac{75}{100}\times x\)

ハーフパンツの割引後の代金：　　　20%引き 　 　\(\dfrac{80}{100}\times y\)

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&x &+ &y &= &5500&\text{　････････ 1)}\\
&\dfrac{75}{100}x &+ &\dfrac{80}{100}y &= &4200&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

2) の式の両辺に 20 をかけ、約分して整数にします。

\[\begin{align}20\times\dfrac{75}{100}x + 20\times\dfrac{80}{100}y &= 20\times4200&\text{　････････ 2) ×20}\\
\dfrac{75}{5}x + \dfrac{80}{5}y &= 84000\\
15x + 16y &= 84000&\text{　････････ 2)’}\end{align}\]

1) の式を 15 倍して、2)’ の式から引きます。

\[15x + 15y = 82500\text{　････････ 1) ×15}\]

\[\begin{align}(15x + 16y) – (15x + 15y) &= 84000 – 82500\\
15x – 15x + 16y – 15y &= 1500\\
y &= 1500\end{align}\]

\(y = 1500\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x + 1500 &= 5500\\
x &= 5500 – 1500\\
x &= 4000\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (4000, 1500)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

ウィンドブレーカーの定価 \(4000\) 円、ハーフパンツの定価 \(1500\) 円

第7問：男女の人数と割合

問題

ある部活の昨年の部員数は男女合わせて25人でした。今年は男子が昨年の \(\dfrac{2}{3}\) に減り、女子が昨年の \(\dfrac{4}{3}\) に増えたため、全体で26人になりました。
昨年の男子と女子の人数を、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （昨年の男子の人数）＋（昨年の女子の人数）＝ 25（人）
• （今年の男子の人数）＋（今年の女子の人数）＝ 26（人）

立式

昨年の男子の人数を \(x\) 人、女子の人数を \(y\) 人とします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&x &+ &y &= &25&\text{　････････ 1)}\\
&\dfrac{2}{3}x &+ &\dfrac{4}{3}y &= &26&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

2) の式の両辺に 3 をかけて分母を払います。

\[\begin{align}3\times\dfrac{2}{3}x + 3\times\dfrac{4}{3}y &= 3\times26\\
2x + 4y &= 78\end{align}\]

さらに両辺を 2 で割って整理します。

\[x + 2y = 39 \text{　････････ 2)’}\]

2)’ の式から 1) の式をひきます。

\[\begin{align}(x + 2y) – (x + y) = 39 – 25\\
y = 14\end{align}\]

\(y = 14\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x + 14 &= 25\\
x&=25-14\\
x &= 11\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (11, 14)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

昨年の男子 \(11\) 人、昨年の女子 \(14\) 人

第8問：速さと時間・道のり（分数係数版）

問題

7km離れた場所へ行くのに、時速15kmの自転車と時速4kmの徒歩で移動し、全体で50分かかりました。
自転車と徒歩の道のりを、それぞれ求めなさい。

解答・解説：

【考え方】数量の関係

• （自転車の道のり）＋（徒歩の道のり）＝ 7（km）
• （自転車にかかった時間）＋（徒歩にかかった時間）＝ 50 （分）★単位を時間にそろえる
  
  50 (分) → 時間の単位へ変換 → \(\dfrac{50}{60}\) (時間)

立式

自転車で走った道のりを \(x\) km、歩いた道のりを \(y\) kmとします。

上記の数量の関係から、以下の連立方程式が成り立ちます。

\[\begin{cases}
&x &+ &y &= &7&\text{　････････ 1)}\\
&\dfrac{x}{15} &+ &\dfrac{y}{4} &= &\dfrac{50}{60}&\text{　････････ 2)}
\end{cases}\]

計算

2) の式の両辺に 60 をかけて分母を払います。

\[\begin{align}60\times\dfrac{x}{15} + 60\times\dfrac{y}{4} &= 60\times\dfrac{50}{60}\\
4x + 15y &= 50\text{　････････ 2)’}\end{align}\]

1) の式を 4 倍します。

\[\begin{align}4\times x + 4\times y &= 4\times 7\\
4x + 4y &= 28\text{　････････ 1)’}\end{align}\]

2)’ の式から 1)’ の式を引きます。

\[\begin{align}(4x + 15y) – (4x + 4y) &= 50 – 28\\
4x – 4x + 15x – 4y) &= 22\\
11y &= 22\\
y &= 2\end{align}\]

\(y = 2\) を 1) の式に代入します。

\[\begin{align}x + 2 = 7\\
x = 5\end{align}\]

方程式の解は、\[(x, y) = (5, 2)\] となります。

確かめ

これらは問題の条件に適している。

解答

自転車の道のり \(5\) km、徒歩の道のり \(2\) km

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まとめ

確かめ（検証）について

｢確かめ｣は、求めた方程式の解が、正しいかを確かめるところです。
計算が間違っていないか、そもそも方程式が間違っていないか、計算はあっているが、問題に合わない解になっていないかを確かめ、問題に合っていれば、それが解答として適している、と宣言します。
はじめの頃は、確かめても当たり前のように感じることも多いでしょう。
学習が進んで内容が複雑になってくると、この確かめが必要になってきます。今のうちに以下のような確かめがあることを知っておきましょう。
そもそも、方程式は、問題を解決するために使うものです。
計算練習は正しい計算の仕方を身に付けるためのものです。ですが、式が解けて終わりではありません。
例えば、第1問：買い物の問題（リンゴとミカン）では、方程式の解が、\((x,y)=(70,150)\)となったとします。
でも、問題に当てはめると、リンゴ 70円、 ミカン 150円となります。
「え、リンゴよりミカンの方が値段が高い」ここに違和感が生まれます。方程式に代入してみて、どこかで計算間違いをしていることが分かります。正しくは、リンゴ 150円、 ミカン 70円です。

このような、方程式の解が問題に合っていることが確認できたら、「これらは問題の条件に適している。」と一文書きましょう。そして、今後も、｢確かめ｣を忘れないように心がけましょう。
筆者のおすすめは、パターン1。ただし、暗算で、方程式に代入、問題場面に当てはめてみる、方法です。

おわりに

練習問題への取り組み、おつかれさまでした。連立方程式の文章問題8問、すべて解ききることはできましたか。

最後にもう一度、文章問題を解くときのステップをおさらいしてみましょう。

1. 求める数量（知りたいもの）を \(x\) 、 \(y\) とおく（単位を忘れないように注意！）
2. 問題文のヒントから「言葉の式（数量の関係）」を2つ書き出す
3. 言葉の式を \(x\) と \(y\) の方程式に置き換える
4. 計算して解を求め、問題の答えとして合っているか確かめる

特にステップ2の「言葉の式」をはさむだけで、式を立てるときのまちがいはかなり減ります。

もし途中でまちがえてしまった問題があれば、何度もくりかえし解き直して、テストで確実に点数を取れるようにしておきましょう。
数学は「自分で手を動かした分だけ」絶対に得意になります。