1年次で学んだ「一元一次方程式」では、未知の数量は1つだけでした。しかし、日常生活には、ノートの冊数とボールペンの本数の関係のように、2つの異なる未知数が同時に関わり合う場面が数多く存在します。
本記事では、2つの文字を含む新しい方程式「二元一次方程式」の仕組みについて解説します。文字の範囲に制限がないとき、解が無数に存在する特性を理解し、一元一次方程式との違いを数理的に捉えていきましょう。

第1章 連立二元一次方程式　第1節 二元一次方程式とその解

1. 2つの文字を含む数量の関係

1年生では、まだ分かっていない未知の数量が1つである場合に、文字 \(x\) を用いて一元一次方程式に表して、問題を解決する方法を学びました。
日常生活や社会の事象においては、未知の数量が 2つ以上存在し、それらがお互いに関連し合う場面が多くあります。

次の具体的な場面について考えてみましょう。

場面
1冊 \(120\) 円のノート数冊と、1本 \(80\) 円のボールペン数本を買って、代金の合計をちょうど \(600\) 円にします。
それぞれ何冊、何本買えばよいでしょうか。

この場面では、買うノートの冊数とボールペンの本数は、どれも決まっていない数量、未知数です。
そこで、ノートの冊数を \(x\) 冊、ボールペンの本数を \(y\) 本として、数量の関係を整理します。

• ノートの代金： \(120\times x=120x\) （円）
• ボールペンの代金： \(80\times y=80y\) （円）

代金の合計が \(600\) 円であることから、次の等式が成り立ちます。

\[120x+80y=600\]

この式のように、 \(x\) と \(y\) の2つの文字を含み、それぞれの文字の次数が1である方程式を 二元一次方程式 （にげんいちじほうていしき）といいます。

【振り返り】
次数…単項式で、かけあわされている文字の個数を、その式の次数という。
　　\(5x,-3a\) の次数は 1、\(2ab,4x^2\) の次数は 2

一次式、二次式…次数が 1 の式を一次式、次数が 2 の式を二次式という。
　　\(2a+b-6\) は一次式、\(3x^2-2x+4\) は二次式

方程式…文字を含む等式を方程式という。

2. 二元一次方程式の解

次に、二元一次方程式 \(120x+80y=600\) にあてはまる \(x\) と \(y\) の値の組を考えます。
ノートの冊数 \(x\) とボールペンの本数 \(y\) は、実際の場面では \(0\) 以上の整数（自然数および \(0\)）です。
\(x\) の値が \(0,1,2,3,\cdots \) のとき、方程式にあてはまる \(y\) の値を求めて、表に整理します。

表から、二元一次方程式 \(120x+80y=600\) にあてはまる \(x,y\) の値の組は、次のようになります。

• \(x=1,y=6\text{　　}(1,6)\)
• \(x=3,y=3\text{　　}(3,3)\)
• \(x=5,y=0\text{　　}(5,0)\)

なお、上の表の \(x,y\) の値の組 \((0,7.5)\) や\((2,4.5)\) も方程式の等号が成り立ち、有効な値の組です。
しかし、今回の「冊数や本数」という現実の条件（ \(0\) 以上の整数）には適しません。

二元一次方程にあてはまる文字の値の組 \((x,y)\) を、その方程式の 解 （かい）といいます。
解をすべて求めることを、その方程式を 解く といいます。
上の表の \((x,y)\) の組などは、すべて二元一次方程式 \(120x+80y=600\) の解です。

一年生で学んだ一元一次方程式（例： \(2x+4=10\) ）の解は1つに定まりました。これに対し、二元一次方程式は1つの式だけでは解が1組には定まらず、文字の範囲に制限がない場合は無数に存在する特性をもっています。

🔎 確かめ問題

【問1】
次のア～ウの \(x,y\) の値の組のうち、二元一次方程式 \(2x+3y=12\) の解であるものをすべて選びなさい。
ア： \(x=3,y=2\)
イ： \(x=0,y=4\)
ウ： \(x=4,y=1\)

【問2】
二元一次方程式 \(x+y=5\) について、 \(x,y\) がともに自然数（ \(1,2,3,\cdots \) ）であるときの解をすべて求め、 \((x,y)=(\)値\(,\)値\()\) の形で書き並べなさい。