三平方の定理に登場する ３：４：５ などの辺の比は，どのようにつくるのでしょうか。

まず，次の式を見てください。

１＋３＋５＝３^２
１＋３＋５＋７＝４^２
１＋３＋５＋７＋９＝５^２

なんとも不思議です。
奇数の和が，平方数になっています。
この３つの式を組み合わせると，

３^２＋４^２＝５^２

正の整数ａ，ｂ，ｃがａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２の関係を満足していれば，ａ，ｂ，ｃの組をピタゴラス数と呼びます。
ピタゴラス数は，奇数の和である平方数をもとに構成できます。
例えば，よく知られる（３，４，５）は，次のように導かれます。

１＋３＋５＋７＝４^２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５^２…②
①を②に代入すると，
４^２＋９＝５^２
４^２＋３^２＝５^２

この方法で一般的な求め方は，自然数ｎを用いて，

a＝２ｎ＋１，ｂ＝２ｎ^２＋２ｎ，ｃ＝２ｎ^２＋２ｎ＋１

となります。
より一般的な方法は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表されます。

a＝ｍ^２－ｎ^２，b＝２ｍｎ，c＝ｍ^２＋ｎ^２

１　奇数の和は平方数

（１）ピタゴラス数とは

有名なピタゴラスの定理は，次のように述べることができます。

ピタゴラスの定理は，その逆も成り立ちます。

このことから，ピタゴラスの定理が成り立つ数の組を，ピタゴラス数と呼んでいます。

例えば，

３^２＋４^２＝５^２

（３，４，５）は，比較的よく知られたピタゴラス数です。
日常的に，直角を作ったり確かめたりするときに使われます。

（２）奇数の和と平方数の関係

ところで，自然数で，１，３，５，７，９，…，２ｎ－１は，奇数です。
その奇数を，１から順に加えていくと，次のようになります。

１＝１^２
１＋３＝４＝２^２
１＋３＋５＝９＝３^２
１＋３＋５＋７＝１６＝４^２
１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５^２
１＋３＋５＋７＋９＋１１＝３６＝６^２
……

不思議なことに，奇数の和は，平方数になります。

平方数とは，自然数の二乗で表される整数です。
ピタゴラスは，この平方数のことを四角数と呼びました。
図のように，

1. ｎ個×ｎ個の正方形を作ります。
2. その正方形の上に，辺の数と同じｎ個を加え，
3. 正方形の右に，辺の数と同じｎ個を加え，
4. 正方形の右上に，１個を加えます。
5. 合わせて，２ｎ＋１，すなわち奇数個を加えたことなります。
6. そうすると，できた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形です。

はじめのｎ個×ｎ個の正方形から，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形に変わり，（ｎ＋１）^２の平方数になります。
このように，連続する奇数を加えることで，平方数を続けてつくることができます。
奇数を，１から順に加えた結果は，いつでも平方数になります。

１＋３＋５＋７＋…（２ｎ－１）＝ｎ^２

２　平方数から構成するピタゴラス数

ピタゴラスは，奇数の和である平方数をもとに，ピタゴラス数を見出しました。

例えば，以下のようです。
１～７と１～９の奇数の和を考えます。

１＋３＋５＋７＝４^２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５^２…②
①を②に代入すると，
４^２＋９＝５^２
４^２＋３^２＝５^２

これにより，ピタゴラス数（３，４，５）が得られます。

次に，１～２３と１～２５の奇数の和を考えます。

１＋３＋５＋…＋２３＝１２^２………①
１＋３＋５＋…＋２３＋２５＝１３^２…②
①を②に代入すると，
１２^２＋２５＝１３^２
１２^２＋５^２＝１３^２

これにより，ピタゴラス数（５，１２，１３）が得られます。

さらに，１～４７と１～４９の奇数の和を考えます。

１＋３＋５＋…＋４７＝２４^２………①
１＋３＋５＋…＋４７＋４９＝２５^２…②
①を②に代入すると，
２４^２＋４９＝２５^２
２４^２＋７^２＝２５^２

これにより，ピタゴラス数（７，２４，２５）が得られます。
この方法を続ければ，いくらでもピタゴラス数をつくり出すことできます。

例えば，（４０，９，４１），（６０，１１，６１），（８４，１３，８５）などです。
・　４０^２＋９^２＝４１^２
・　６０^２＋１１^２＝６１^２
・　８４^２＋１３^２＝８５^２
・　１１２^２＋１５^２＝１１３^２
・　１４４^２＋１７^２＝１４５^２
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３　ピタゴラス数の分析と求め方

（１）ピタゴラス数の作り方を図で考える

上記のピタゴラス数の作り方を図にして考えると，赤文字部分が平方数になるとき，ピタゴラス数になります。

1. 一辺がｎ個であるｎ個×ｎ個の正方形を作ります。
2. その正方形の上に，辺の数と同じｎ個を加え，
3. 正方形の右に，辺の数と同じｎ個を加え，
4. 正方形の右上に，１個を加えます。
5. 合わせて，２ｎ＋１個を加えます。
6. そうすると，できた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形です。

このとき，
はじめのｎ個×ｎ個の正方形は，ｎ^２個，最後にできた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形，すなわち（ｎ＋１）^２個の正方形です。

このことを式に表すと，

ｎ^２＋（２ｎ＋１）＝（ｎ＋１）^２

となります。
この（２ｎ＋１）が平方数のとき，ピタゴラス数になります。

例えば，奇数は，１，３，５，７，９，１１，…
と続きます。
そのうち最初の奇数の平方数は，９＝３^２です。
次の平方数としては，１６＝４^２がありますが，これは偶数です。
ですから，さらに次の奇数の平方数を探します。
…，１９，２１，２３，２５，２７，…
となり，平方数２５＝５^２が登場します。
この平方数からピタゴラス数を作ると，
１＋３＋５＋…＋２３＝１２^２………①
１＋３＋５＋…＋２３＋２５＝１３^２…②
①を②に代入すると，
１２^２＋２５＝１３^２
１２^２＋５^２＝１３^２
これにより，ピタゴラス数（５，１２，１３）が得られます。

（２）ピタゴラス数を式で考える

①　ピタゴラス数の図化

上記で得られたピタゴラス数で，直角三角形を作図するとどのようになるでしょうか。

直角を挟む２辺のうち 一方の辺の比は，
３，５，７，９，１１，１３，１５，…
という奇数で，一次的な単調増加です。
他方の辺の比は，
４，１２，２４，４０，６０，８４，１１２，…
と，数は二次的に変化し単調増加です。

②　ピタゴラス数のグラフ化

下記のピタゴラス数である３辺の比の変化を，グラフ化すると次のようになります。
番号（　ａ，　　ｂ，　　ｃ　）　ａ^２＋ｂ^２=ｃ^２
１　（　　３　　　４　　　５）
２　（　　５　　１２　　１３）
３　（　　７　　２４　　２５）
４　（　　９　　４０　　４１）
５　（　１１　　６０　　６１）
６　（　１３　　８４　　８５）
７　（　１５　１１２　１１３）
８　（　１７　１４４　１４５）

③　ピタゴラス数の式化

直角三角形の直角をはさむ２辺のうちの１辺の変化の式は，

ｙ＝２ｘ＋１

の一次関数です。これは，奇数を表します。
直角をはさむもう１辺の変化の式は，

ｙ＝２ｘ^２＋２ｘ

の定数項のない二次関数です。
斜辺の変化の式は，

ｙ＝２ｘ^２＋２ｘ＋１

の二次関数です。
「２　平方数からできるピタゴラス数」で述べた方法によれば，一般的に次の式でピタゴラス数が求められます。

自然数：ｎ　ａ：２ｎ＋１，ｂ：２ｎ^２＋２ｎ，ｃ：２ｎ^２＋２ｎ＋１

なお，

ａ^２＋ｂ^２=（２ｎ＋１）^２+（２ｎ^２＋２ｎ）^２
＝４ｎ^４＋８ｎ^３＋８ｎ^２＋４ｎ＋１
＝（２ｎ^２＋２ｎ＋１）^２
＝ｃ^２

となり，上記の式は，三平方の定理が成り立ちます。
これらの式のｎに自然数を代入すると，ピタゴラス数が得られます。

④　ピタゴラス数の一般的な求め方

さらに一般的には，ピタゴラス数は，次のように表されることが知られています。

最大公約数が１のピタゴラス数は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表される。 ｘ＝ｍ２－ｎ２，ｙ＝２ｍｎ，ｚ＝ｍ２＋ｎ２

４　まとめ

ピタゴラス数は，奇数の和である平方数をもとに構成することができます。
例えば，よく知られる（３，４，５）は，次のように導かれます。

１＋３＋５＋７＝４^２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５^２…②
①を②に代入すると，
４^２＋９＝５^２
４^２＋３^２＝５^２

この方法で一般的な求め方は，

自然数：ｎ　ａ＝２ｎ＋１，ｂ＝２ｎ^２＋２ｎ，ｃ＝２ｎ^２＋２ｎ＋１

となります。

より一般的な方法は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表されます。

ａ＝ｍ^２－ｎ^２，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^２＋ｎ^２

引用，参考文献　矢野健太郎「すばらしき数学者たち」新潮文庫昭和５５年（本稿１，２）※平方数は，本書では，三角数と合わせて四角数と紹介されています。本稿では，三角数に触れていないことから，平方数を使用しています。